Другое по предмету математика и статистика

Окружность как геометрическая фигура всегда привлекала к себе внимание художников, архитекторов. В неповторимом архитектурном облике Санкт-Петербурга восторг и удивление вызывает "чугунное кружево" - садовые ограды, перила мостов и набережных, балконные решетки и фонари. Четко просматриваемое на фоне фасада зданий летом, в изморози зимой, оно придает особое очарование городу. Особую воздушность придают воротам Таврического дворца (созданного в конце ХIII в. архитектором Ф.И. Волковым) окружности сплетенные в орнамент. Торжественность и устремленность ввысь - такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей. Это видим на здании Главного штаба. (Санкт-Петербург). Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы купола, арки, округлые своды, что зрительно увеличивает пространство, создает эффект полета, легкости.

Численное дифференцирование - некорректная задача, так как отсутствует устойчивость решения. При численном дифференцировании приходится вычитать друг из друга близкие значения функции. Это приводит к уничтожению первых значащих цифр, т.е. к потере части достоверных знаков числа. А так как значения функции обычно известны с определенной погрешностью, то все значащие цифры могут быть потеряны. На графике кривая (1) соответствует уменьшению погрешности дифференцирования при уменьшении шага; кривая (2) представляет собой неограниченно возрастающий вклад неустранимой погрешности исходных данных - значений функции y(x). Критерий выхода за оптимальный шаг при его уменьшении - решение: зависимость результатов вычислений становится нерегулярно зависящей от величины шага.

Сохранились примерно о начало второго тысячелетия до нашей эры. К этому времени относится расцвет двух великих цивилизаций древнего Востока - Египта и Вавилона. Эти государства были земледельческими. Площадь, пригодную для земледелия, можно было увеличить путём проведения оросительных каналов или путём осушения болот. Работы по проведению каналов и осушению болот, необходимость устанавливать границы между полями потребовали создания сельских общин. Поэтому наряду с натуральным хозяйством этих общин появляется распределение, связанное со значительными общественными работами, а также частыми войнами. Организация централизованного государства приводит к появлению централизованной религии, вокруг дворцов и храмов возникают города. Которые становятся центром торговли.

Тема приближенного вычисления корней актуальна всегда, так как задания с квадратными корнями есть в каждом курсе предметов естественнонаучного цикла. В ходе решения многих математических задач, а так же задач по геометрии, по физике, по химии и т.д. приходится сталкиваться с квадратными корнями. Для извлечения квадратного корня существуют таблицы квадратов для двухзначных чисел, но ее бывает недостаточно. Извлечение корня разложением на множители тоже непростая задача, которая не всегда приводит к желаемому результату, и я решила изучить различные способы извлечения квадратных корней с целью их практического применения.

%20(1667-1754)%20%d0%b8%20%d0%9b%d0%b5%d0%be%d0%bd%d0%b0%d1%80%d0%b4%20%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4>%20(1707-1783).%20%d0%9a%d0%be%d0%b3%d0%b4%d0%b0%20%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f%20%d0%ba%d0%be%d0%bc%d0%bf%d0%bb%d0%b5%d0%ba%d1%81%d0%bd%d1%8b%d1%85%20%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%b5%d0%bb%20%d0%b2%20XIX%20%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d0%b5%20%d1%81%d1%82%d0%b0%d0%bb%d0%b0%20%d0%b7%d0%b0%d0%bc%d0%ba%d0%bd%d1%83%d1%82%d0%be%d0%b9%20%d0%b8%20%d1%87%d1%91%d1%82%d0%ba%d0%be%d0%b9,%20%d1%81%d1%82%d0%b0%d0%bb%d0%be%20%d0%b2%d0%be%d0%b7%d0%bc%d0%be%d0%b6%d0%bd%d1%8b%d0%bc%20%d0%ba%d0%bb%d0%b0%d1%81%d1%81%d0%b8%d1%84%d0%b8%d1%86%d0%b8%d1%80%d0%be%d0%b2%d0%b0%d1%82%d1%8c%20%d0%b8%d1%80%d1%80%d0%b0%d1%86%d0%b8%d0%be%d0%bd%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d1%8b%d0%b5%20%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%bb%d0%b0%20%d0%bd%d0%b0%20%d0%b0%d0%bb%d0%b3%d0%b5%d0%b1%d1%80%d0%b0%d0%b8%d1%87%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%b8%d0%b5%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0>%20%d0%b8%20%d1%82%d1%80%d0%b0%d0%bd%d1%81%d1%86%d0%b5%d0%bd%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d1%82%d0%bd%d1%8b%d0%b5%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0>%20(%d0%b4%d0%be%d0%ba%d0%b0%d0%b7%d0%b0%d0%b2%20%d0%bf%d1%80%d0%b8%20%d1%8d%d1%82%d0%be%d0%bc%20%d1%81%d1%83%d1%89%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20%d1%82%d1%80%d0%b0%d0%bd%d1%81%d1%86%d0%b5%d0%bd%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d1%82%d0%bd%d1%8b%d1%85%20%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%b5%d0%bb),%20%d1%82%d0%b5%d0%bc%20%d1%81%d0%b0%d0%bc%d1%8b%d0%bc%20%d0%bf%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%be%d1%81%d0%bc%d1%8b%d1%81%d0%bb%d0%b8%d0%b2%20%d1%80%d0%b0%d0%b1%d0%be%d1%82%d1%8b%20%d0%95%d0%b2%d0%ba%d0%bb%d0%b8%d0%b4%d0%b0%20%d0%bf%d0%be%20%d0%ba%d0%bb%d0%b0%d1%81%d1%81%d0%b8%d1%84%d0%b8%d0%ba%d0%b0%d1%86%d0%b8%d0%b8%20%d0%b8%d1%80%d1%80%d0%b0%d1%86%d0%b8%d0%be%d0%bd%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d1%8b%d1%85%20%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%b5%d0%bb.%20%d0%9f%d0%be%20%d1%8d%d1%82%d0%be%d0%b9%20%d1%82%d0%b5%d0%bc%d0%b5%20%d0%b2%201872%20%d0%b1%d1%8b%d0%bb%d0%b8%20%d0%be%d0%bf%d1%83%d0%b1%d0%bb%d0%b8%d0%ba%d0%be%d0%b2%d0%b0%d0%bd%d1%8b%20%d1%80%d0%b0%d0%b1%d0%be%d1%82%d1%8b%20%d0%92%d0%b5%d0%b9%d0%b5%d1%80%d1%88%d1%82%d1%80%d0%b0%d1%81%d1%81%d0%b0%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB>,%20%d0%93%d0%b5%d0%b9%d0%bd%d0%b5%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B5,_%D0%AD%D0%B4%D1%83%D0%B0%D1%80%D0%B4>,%20%d0%9a%d0%b0%d0%bd%d1%82%d0%be%d1%80%d0%b0%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF>%20%d0%b8%20%d0%94%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%ba%d0%b8%d0%bd%d0%b4%d0%b0%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4,_%D0%AE%D0%BB%D0%B8%D1%83%D1%81_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%A0%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4>.%20%d0%a5%d0%be%d1%82%d1%8f%20%d0%b5%d1%89%d1%91%20%d0%b2%201869%20%d0%b3%d0%be%d0%b4%d1%83%20%d0%9c%d0%b5%d1%80%d1%8d%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D1%8D,_%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BB%D1%8C>%20%d0%bd%d0%b0%d1%87%d0%b0%d0%bb%20%d1%80%d0%b0%d1%81%d1%81%d0%bc%d0%be%d1%82%d1%80%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f,%20%d1%81%d1%85%d0%be%d0%b6%d0%b8%d0%b5%20%d1%81%20%d0%93%d0%b5%d0%b9%d0%bd%d0%b5,%20%d0%b8%d0%bc%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d0%be%201872%20%d0%b3%d0%be%d0%b4%20%d0%bf%d1%80%d0%b8%d0%bd%d1%8f%d1%82%d0%be%20%d1%81%d1%87%d0%b8%d1%82%d0%b0%d1%82%d1%8c%20%d0%b3%d0%be%d0%b4%d0%be%d0%bc%20%d1%80%d0%be%d0%b6%d0%b4%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f%20%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d0%b8.%20%d0%92%d0%b5%d0%b9%d0%b5%d1%80%d1%88%d1%82%d1%80%d0%b0%d1%81%d1%81,%20%d0%9a%d0%b0%d0%bd%d1%82%d0%be%d1%80%20%d0%b8%20%d0%93%d0%b5%d0%b9%d0%bd%d0%b5%20%d0%be%d0%b1%d0%be%d1%81%d0%bd%d0%be%d0%b2%d1%8b%d0%b2%d0%b0%d0%bb%d0%b8%20%d1%81%d0%b2%d0%be%d0%b8%20%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d0%b8%20%d0%bf%d1%80%d0%b8%20%d0%bf%d0%be%d0%bc%d0%be%d1%89%d0%b8%20%d0%b1%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%be%d0%bd%d0%b5%d1%87%d0%bd%d1%8b%d1%85%20%d1%80%d1%8f%d0%b4%d0%be%d0%b2,%20%d0%b2%20%d1%82%d0%be%20%d0%b2%d1%80%d0%b5%d0%bc%d1%8f%20%d0%ba%d0%b0%d0%ba%20%d0%94%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%ba%d0%b8%d0%bd%d0%b4%20%d1%80%d0%b0%d0%b1%d0%be%d1%82%d0%b0%d0%bb%20%d1%81%20(%d0%bd%d1%8b%d0%bd%d0%b5%20%d1%82%d0%b0%d0%ba%20%d0%bd%d0%b0%d0%b7%d1%8b%d0%b2%d0%b0%d0%b5%d0%bc%d1%8b%d0%bc)%20%d0%94%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%ba%d0%b8%d0%bd%d0%b4%d0%be%d0%b2%d1%8b%d0%bc%20%d1%81%d0%b5%d1%87%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%d0%bc%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>%20%d0%bc%d0%bd%d0%be%d0%b6%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%b0%20%d0%b2%d0%b5%d1%89%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d1%85%20%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%b5%d0%bb,%20%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d1%8f%d1%8f%20%d0%b2%d1%81%d0%b5%20%d1%80%d0%b0%d1%86%d0%b8%d0%be%d0%bd%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d1%8b%d0%b5%20%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%bb%d0%b0%20%d0%bd%d0%b0%20%d0%b4%d0%b2%d0%b0%20%d0%bc%d0%bd%d0%be%d0%b6%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%b0%20%d1%81%20%d0%be%d0%bf%d1%80%d0%b5%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d1%91%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%bc%d0%b8%20%d1%85%d0%b0%d1%80%d0%b0%d0%ba%d1%82%d0%b5%d1%80%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b8%d1%87%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%b8%d0%bc%d0%b8%20%d1%81%d0%b2%d0%be%d0%b9%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%b0%d0%bc%d0%b8.%20%d0%ad%d1%82%d0%be%20%d1%80%d0%b0%d0%b7%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20%d0%bc%d1%8b%20%d0%b8%20%d0%b1%d1%83%d0%b4%d0%b5%d0%bc%20%d1%81%d0%b5%d0%b9%d1%87%d0%b0%d1%81%20%d1%80%d0%b0%d1%81%d1%81%d0%bc%d0%b0%d1%82%d1%80%d0%b8%d0%b2%d0%b0%d1%82%d1%8c.">В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D1%83%D0%B0%D0%B2%D1%80,_%D0%90%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%B0%D0%BC_%D0%B4%D0%B5> (1667-1754) и Леонард Эйлер <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4> (1707-1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0> и трансцендентные <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0> (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB>, Гейне <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%B5,_%D0%AD%D0%B4%D1%83%D0%B0%D1%80%D0%B4>, Кантора <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF> и Дедекинда <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4,_%D0%AE%D0%BB%D0%B8%D1%83%D1%81_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%A0%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4>. Хотя ещё в 1869 году Мерэ <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D1%8D,_%D0%A8%D0%B0%D1%80%D0%BB%D1%8C> начал рассмотрения, схожие с Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5> множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами. Это разделение мы и будем сейчас рассматривать.

С глубокой древности и до наших дней сохранилось поверие о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием различных планет. Каждой планете, Солнцу и Луне астрологи приписывали магический квадрат определённого порядка: Сатурну - третьего, Юпитеру - четвёртого, Марсу - пятого, Солнцу - шестого, Венере - седьмого, Меркурию - восьмого, Луне - девятого. Уже в 1533 г. немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа из Неттенхейма в своём сочинении «О сокровенной философии» описал семь магических квадратов, имеющих в основании 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 клеток. Число квадратов было выбрано равным числу птолемеевых планетных сфер. Агриппа назвал эти квадраты «планетарными таблицами». Агриппа не дал никакого способа построения этих таблиц, но советовал гравировать их на пластинках или дисках из различных металлов и носить на себе как амулеты. Значительное распространение получили амулеты, на одной стороне которых был изображён бог, именем которого названа соответствующая планета, а на оборотной - магический квадрат этой планеты, заключённый в n-угольную пентаграмму.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты ,чертежи или наброски исходя из соотношения золотого сечения. Леонардо Да Винчи создавал свои шедевры досконально изучив параметры человеческого тела и используя формулу золотой пропорции. Ле Корбюзье возводил свои архитектурные произведения, считающиеся шедеврами инженерной мысли также используя формулу Фибоначчи. Самая главная книга всех архитекторов - справочник Нойферта «Строительное проектирование» основано на параметрах туловища человека, заключающих в себе золотую пропорцию. Пропорции различных частей нашего тела составляет число очень близкое к золотому сечению. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы соотношение по данной схеме всегда равно золотому сечению. В строении черт лица человека также есть множество примеров приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Наличие золотого сечения на лице и теле человека и есть идеал красоты. Если принять центром человеческого тела центр пупка , а расстояние от ступни человека до точки пупка за еденицу измерения, то весь рост человека равен соотношению 1:1,618. Кроме того есть еще несколько основных золотых пропорций нашего тела. Соотношения расстояния от кончиков пальцев до локтя и от запястья до локтя равно отношению 1:1,618. Соотношения расстояния от уровня плеча до макушки головы = 1:1618. Соотношение от точки пупка до макушки, от уровня плеча до макушки головы равно 1:1,618, от пупка до коленей и от коленей до ступней =1:1,618. Соотношение высоты лица и ширины лица =1:1,618 ,расстояние от бровей до центра губ и высоты носа=1:1,618, от макушки до подбородка и, от линии бровей до подбородка =1:1,168..соотношение ширины рта и ширина носа 1:1,618, соотношение ширины носа и ширины ноздрей, соотношение ширины между глазами и расстояния между бровями=1:1,618

Найти оптимальное решение можно на основе анализа взаимосвязи между издержками и объемом производства (выработкой). Ведь прибыль определяется разницей между выручкой от реализации продукции и всеми издержками. А выручка, и издержки зависят от объема производства. В качестве инструмента анализа этой зависимости экономическая теория использует производственную функцию. Производственная функция определяет максимальный объем выпуска продукции при каждом заданном количестве ресурсов. Эта функция описывает зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции, позволяя определить максимально возможный объем выпуска продукции при каждом заданном количестве ресурсов, или минимально возможное количество ресурсов для обеспечения заданного объема выпуска продукции. Производственная функция суммирует только технологически эффективные приемы комбинирования ресурсов для обеспечения максимального выпуска продукции. Любое усовершенствование в технологии производства способствующее росту производительности труда, обусловливает новую производственную функцию.

относительно векторной функции F векторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях нелинейного отображения . В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи - построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n = 1 до n≥2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F(x).

Mathematical induction teaches students not only mathematics but also life - in order to develop we need to start with the minimum, take the first rung, the first step. The story of mathematical induction coincides with several verities of life, for example, the famous French author Antoine de Saint-Exupery said: "To be a man is to be aware, when setting one stone, that you are building a world." Students accept, understand and love things that are related to life and reality. Therefore it is important that students have practical work: use domino, build towers of Hanoi, make visual models of tasks, calculate statement values in Excel spreadsheets for n = 1, 2, 3, 4, 5, 6... and only then they can move to the general and complicated cases when n = k and n = k+1.of books have been written about the method of mathematical induction. The Internet is also rich in materials, for example, the search engine Google listed 1 310 000 results for the searched phrase "mathematical induction" on 18 April 2011. Whereas signs of interactivity were present only in two search results: 1) interactive test (http://www.themathpage.com/aprecalc/ precalculus.htm) and 2) the PowerPoint presentation (http://www.slidefinder.net/ 2/202_20 induction/19762525). Only two authors: Agnis Andžāns and Pēteris Zariņš, Professors at the University of Latvia and David S. Gunderson, Professor of Mathematics at the University of Manitoba have described in their books the possibility of using schemes to depict methods of mathematical induction. These schemes are easier understood by students if placed into interactive environment, for example, Excel spreadsheets or Multimedia learning object.work has been supported by the European Social Fund within the project "Support for Doctoral Studies at University of Latvia".

Все они приблизительно однотипны и не носят самостоятельного характера, а скорее представляют варианты аналогичных учебников, существовавших Западной Европе. Поскольку в эту эпоху в России начинала быстро развиваться торговля, то и учебники арифметики предназначались главным образом для помощи торговым расчетам. В этих арифметиках содержалось объяснение операций над целыми и дробными числами, а затем излагались приемы решения типичных задач на вычисление цены товара, прибыли, получаемой при продаже, на правила товарищества и пр. В 1682 году в Москве вышла книга «Считание удобное, которым всякий человек изыскати может число всякия вещи». Это была первая напечатанная в типографии книга по математике, которая должна была помогать решению разных практических задач. Была в ней таблица умножения (до 100х100), записаннаяааславянскимиаацифрами. Таблицы, занимающие 50 страниц, построены так же, как строятся таблицы подобного рода и теперь: каждая страница разделена на клеточки; сомножители помещены в клеточках верхней строки и левого столбца страницы, а их произведения - в клеточках, лежащих в одной строке с левым множителем и в одном столбце с верхним множителем. Шрифт текста и цифры таблиц церковнославянские. Второе издание этой книги, относящееся к 1714 г., отпечатано уже гражданским шрифтом и индийскими цифрами. В предисловии к книге дается объяснение, как ею пользоваться:

Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси.

Возглавляя Математический класс в качестве его директора, а в отсутствие президента Мопертюи и ряд лет после его смерти и всю работу Берлинской академии, Эйлер вместе с тем сохранил звание почетного члена Петербургской академии (с постоянной пенсией), фактически же оставался ее иногородним действительным членом. Сил его хватало для совершенно полноценного «совместительства» в двух академиях, свои сочинения он публиковал почти поровну в изданиях обеих и даже обе вместе они не справлялись с своевременной публикацией неиссякаемого потока его трудов. Помимо того, что он выполнял поручения прусского правительства по гидротехнике, баллистике, организации лотерей и проч., он редактировал математические отделы берлинских и петербургских академических записок, годами руководил занятиями живших у него на квартире молодых русских ученых - С.К. Котельникова, С.Я. Румовского, М. Софронова (1729-1760), участвовал в организации научных конкурсов обеих академий, вел живую переписку с немецкими университетскими профессорами и петербургскими академиками, в том числе М.В. Ломоносовым, подыскивал для нашей академии сотрудников, закупал для нее инструменты и книги. Силы Эйлера в зрелые годы кажутся неистощимыми. Продолжая осуществлять планы, намеченные в Петербурге, подготовляя или завершая фундаментальные трактаты по всем отделам анализа, он включает в круг занятий новые вопросы алгебры и теории чисел, эллиптические интегралы, уравнения математической физики, тригонометрические ряды, дифференциальную геометрию поверхностей, задачи топологии, механику твердого тела, гидродинамику, теорию движения Луны и планет, оптику, магнетизм и в каждой из перечисленных областей получает значительные и нередко первостепенные результаты.

Теория множеств или учение о множествах было создано в 1870 году немецким математиком Георгом Кантор <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D1%80,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BD%D0%B4_%D0%9B%D1%8E%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D0%BF>ом. Он разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество. Крупные математики - в частности, Готлоб Фреге <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%BE%D1%82%D0%BB%D0%BE%D0%B1_%D0%A4%D1%80%D0%B5%D0%B3%D0%B5>, Рихард Дедекинд <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4,_%D0%AE%D0%BB%D0%B8%D1%83%D1%81_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC_%D0%A0%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%80%D0%B4> и Давид Гильберт <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82,_%D0%94%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B4> - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%80%D1%8B>, топологии <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F> и функционального анализа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>. В начале XX века были выявлены крупные недостатки в теории Кантора, и на ее основе создана аксиоматическая (т.е. на основе аксиом, исходя из которых выводятся все дальнейшие теоремы) теория множеств. Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом.

Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства и соответственно). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму

Как уже упоминалось выше, чаще всего, хотя и не всегда, операционные исследования до настоящего времени были связаны с решением задач скорее тактического, тем стратегического характера. Поэтому данная книга в основном посвящена применению ИСО для решения тактических задач. Однако в последней главе мы рассмотрим также и стратегические задачи и обсудим роль, которую играет ИСО в их решении. В определенном смысле нельзя найти двух тактических задач, которые были бы совершенно тождественными. С другой стороны, тактические задачи можно свести к небольшому числу достаточно четко определенных классов. Индивидуальные различия тактических задач относятся к их содержанию, а их классификационное сходство определяется их формой. Любая задача обладает как формой, так и содержанием. Они так же нераздельны, как две стороны одной медали. Мы можем умозрительно рассматривать их по отдельности, но мы никогда не в состоянии разделить их. Под формой понимается структура задачи, т. е. состав ее переменных и постоянных и их взаимосвязь. Содержание определяется природой (значением) этих величин. Так, например, связь между многими парами различных переменных можно графически представить в виде прямой линии. Ясно, что линейная зависимость между парами переменных отражает общность формы, но отнюдь не содержания.

С другой стороны, функция f может представлять собой набор вычислительных правил (алгоритмов), которые позволяют вычислять значение критерия качества функционирования системы (U) при любом заданном множестве значений управляемых и неуправляемых переменных, но не обеспечивают непосредственного отыскания оптимальных значений управляемых переменных. Обычно можно также определить процедуру последовательного выбора значений управляемых переменных таким образом, чтобы эти значения сходились к оптимальному решению. В некоторых алгоритмах затраты на отыскание оптимального решения могут оказаться слишком большими по сравнению с выгодой, даваемой таким решением в сравнении с достаточно «хорошим» решением, которое иногда можно определить сравнительно просто. Всякий раз, когда вычисляется значение U, соответствующее новому набору значений Xi; при заданных значениях Yj получают некоторую новую информацию о том, как функционирует система. Из этой информации можно сделать вывод, что иной набор значений Xi обеспечивает определенное улучшение функционирования системы. Если есть возможность оценить размер улучшения до выполнения вычислений, то можно сравнить затраты на вычисления и решить, целесообразны ли дальнейшие попытки.