Математика и статистика

  • 141. Большие оптические телескопы будущего
    Статья пополнение в коллекции 12.01.2009

    Телескоп Хобби-Эберли, а значит и SALT, разработаны, по существу, как спектроскопические инструменты для длин волн в интервале 0.35-2.0 мкм. SALT наиболее конкурентоспособен с научной точки зрения при наблюдении астрономических объектов, равномерно распределенных по небу или располагающихся в группах размером несколько угловых минут. Поскольку работа телескопа будет осуществляться в пакетном режиме (queue-scheduled), особенно эффективны исследования переменности в течение суток и более. Спектр задач для такого телескопа очень широк: исследования химического состава и эволюции Млечного Пути и близлежащих галактик, изучение объектов с большим красным смещением, эволюция газа в галактиках, кинематика газа, звезд и планетарных туманностей в удаленных галактиках, поиск и изучение оптических объектов, отождествляемых с рентгеновскими источниками. Телескоп SALT расположен на вершине, где уже размещены телескопы Южно-Африканской Обсерватории, приблизительно в 18 км к востоку от поселка Сазерленд (Sutherland) на высоте 1758 м. Его координаты - 20°49' восточной долготы и 32°23' южной широты. Строительство башни и инфраструктуры уже закончено. Дорога автомобилем из Кейптауна занимает приблизительно 4 часа. Сазерленд расположен далеко от всех главных городов, поэтому здесь очень ясное и темное небо. Статистические исследования результатов предварительных наблюдений, которые проводились более 10 лет, показывают, что доля фотометрических ночей превышает 50%, а спектроскопических составляет в среднем 75%. Поскольку этот большой телескоп прежде всего оптимизирован для спектроскопии, 75% - вполне приемлемый показатель.

  • 142. Брачность и разводимость в республике Татарстан
    Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

    Еще одним важным аспектом изучения брачности является характеристика сочетания возрастов супругов. На основе таблицы брачности можно определить число (и долю в общем числе браков) браков, где жених и невеста относятся к одной и той же возрастной группе, где жених относится к более старшей возрастной группе и где невеста относится к более старшей возрастной группе. Это можно и нужно делать как для всех браков, так и по отдельным возрастным группам женихов и невест.
    Не случайно здесь упоминается о возрастной группе, а не о возрасте. Дело в том, что большинство возрастных групп в этой таблице пятилетние и когда жених и невеста находятся в одной возрастной группе, то нельзя сказать одинаков ли их возраст или один из них старше другого. По этой же причине мы не можем корректно рассчитать разницу в возрасте жениха и невесты.
    В связи с этим целесообразно делать дополнительную разработку записей актов о заключении брака с целью получения распределения браков по возрасту жениха и невесты в однолетней возрастной группировке, т.е. отдельно для каждого возраста. На основе такой таблицы можно распределить все браки по разнице возрастов жениха и невесты в однолетней группировке, определить число и долю браков, где жених и невеста одного возраста или один из них старше другого, и, наконец, зная число браков с той или иной разницей в возрасте жениха и невесты по формуле средней арифметической взвешенной рассчитать среднюю величину этого показателя. Все эти расчеты могут быть сделаны как по всем бракам, так и по отдельным возрастам или возрастным группам женихов и невест.
    Более того, имеющаяся в актах о заключении брака информация, позволяет сделать такую разработку и провести соответствующие расчеты не только по всем бракам, но и отдельно для каждого из сочетаний брачных состояний супругов. Отметим что по результатам микропереписи населения 1994 г. была сделана разработка разницы в возрасте супругов в сочетании с возрастными группами, к которым они относятся.
    Наряду с характеристикой сочетания возрастов супругов целесообразно рассматривать сочетания супругов по уровню образования и национальности. Это можно сделать на основе дополнительной разработки записи актов гражданского состояния, а также по таблицам микропереписи населения.

  • 143. Будування математичної моделі економічної задачі і розв'язання її за допомогою графічного метода, методів Жордана-Гаусса, потенціалу та симплекс-метода
    Контрольная работа пополнение в коллекции 07.11.2009

    В даному випадку вихідної системи (1) коефіцієнтами цільової функції Z' стають праві частини В обмежень типу ≤ ; якщо якесь обмеження мало б знак типу ≥, ми б просто змінили знаки коефіцієнтів обох частин цього обмеження. Правими частинами обмежень спряженої задачі стають коефіцієнти C цільової функції Z прямої задачі, що максимізується. Нарешті, коефіцієнтами обмежень типу ≥ спряженої задачі стають елементи векторів Аk, k = 1 ÷ m. Змінні Y = {уj} спряженої задачі також повинні бути невід'ємними. Система обмежень спряженої задачі має розмірність n × m, на відміну від m × n у прямій задачі.

  • 144. Булевы функции
    Контрольная работа пополнение в коллекции 20.01.2011

    Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции f небольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (табл. 15). Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. В табл.15. это соответствие показано. В клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (табл. 16). Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (табл. 17). Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 4-х переменных, к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко.

  • 145. Булевы функции (лабораторные работы)
    Реферат пополнение в коллекции 31.08.2010
  • 146. Булевы функции и теория графов
    Контрольная работа пополнение в коллекции 06.06.2011

    . Интерпретируя отношение М как «меньше», найти в множестве А относительно М минимальные и максимальные, наименьшие и наибольшие элементы (если таковые существуют).

  • 147. Буриданов осел и шредингеровская кошка
    Статья пополнение в коллекции 12.01.2009

    Великий немецкий философ Гегель сказал: "Ответ на вопросы, которые оставляет без ответа философия, заключается в том, что они должны быть иначе поставлены". Так вот, если мы хотим в рамках ньютоновской механики понять природу различия между прошлым и будущим, мы должны поставить вопрос иначе - не об индивидуальной траектории частиц системы, а о поведении пучка близких траекторий. Предположим, что координаты и скорости все частиц в некоторый момент времени известны со сколь угодно малой, но конечной погрешностью. Если описывать, как это принято в современной механике, поведение системы как движение точки в многомерном фазовом пространстве (в котором по осям отложены компоненты координат и скоростей всех частиц - тем самым, по 6 осей на каждую частицу), то эта точка начинает свое движение в некотором "гиперпараллелепипеде", стороны которого - это величины погрешностей. Будем следить за эволюцией всей этой области. Если все силы в системе консервативны, то есть выполняется закон сохранения энергии, то, согласно одной из основных теорем классической механики - теореме Лиувилля - объем области в процессе движения остается постоянным. В то же время, диаметр области, то есть расстояние между наиболее удаленными ее точками, может, оказывается, расти, причем очень быстро (по экспоненциальному закону, то есть в геометрической прогрессии). Исходная "клякса" в фазовом пространстве, грубо говоря, расплывается, утоньшаясь. Показатель, определяющий скорость этого расплывания, обычно называют колмогоровской энтропией. Такое поведение характерно не для всех систем (скажем, оно не проявляется для столь излюбленного в школьной физике гармонического осциллятора, или при кеплеровском движении по орбите под действием гравитации). В то же время, оно не является и экзотикой, например, имеет место уже для одной частицы, движущейся по части плоскости, ограниченной кривой с участками, "выпуклыми внутрь", и отражающейся от стенок по законам упругого удара - "биллиард Синая". Для систем, состоящих из большого числа частиц, такое поведение является "типичным", то есть "гораздо больше" систем ведет себя как "биллиард Синая" чем как гармонический осциллятор (специально не уточняю смысл слов "типичный" и "гораздо больше" для возбуждения здорового любопытства читателей). Буриданов осел + охапки сена, а тем более вся Вселенная, явно относятся к системам с конечной колмогоровской энтропией. Это означает, что любая сколь угодно малая погрешность в задании начальных данных приводит к сколь угодно большой погрешности в результате, или, иными словами, две сколь угодно близкие траектории системы со временем разойдутся сколь угодно далеко. Лапласовскому всезнающему существу не позавидуешь: хранить данные с бесконечным числом значащих цифр может позволить себе только тот, чей объем памяти - мозга или компьютера - бесконечен, а любое округление приведет к полной неопределенности предсказания даже для относительно небольших промежутков времени! Между прочим, именно поэтому долгосрочный прогноз погоды является лженаучной задачей - куда уж тут посягать на свободу воли даже отдельно взятого осла... Все эти соображения имеют, между прочим, прямое отношение и к проблеме необратимости времени и обоснования второго начала термдинамики, и слово "энтропия" появилось здесь не случайно, но не будем отвлекаться (см. рекомендованную выше книжку Пригожина).

  • 148. Быстрые вычисления с целыми числами и полиномами
    Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

    Для произведения двух многочленов первой степени P = aX + b и Q = cX + d достаточно легко находим формулы U = ac, W = bd, V = (a + b)(c + d) и PQ = =UX2 + (V U W)X +W, в которых появляются только три элементарных умножения, но четыре сложения. Можно рекурсивно применить этот процесс для умножения двух многочленов P и Q степени 2l 1, представляя их в виде и применяя предыдущие формулы для вычисления PQ в зависимости от A, B, C и D, где каждое произведение AB, CD и (A + B)(C + D) вычисляется с помощью рекурсивного применения данного метода (это метод Карацубы). Всё это даёт мультипликативную сложность (2l) и аддитивную сложность (2l) такие, что:

  • 149. Бюро долгот
    Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

    В настоящее время Бюро долгот является сложным организмом, связанным с Министерством высшего образования и научных исследований. Институт состоит из двух частей. Первая - Служба вычислений и небесной механики, обязанностью которой является создание эфемерид. С 1961 года - это исследовательская лаборатория. В ее деятельности выделяются два направления: 1) создание эфемерид; 2) исследовательские работы в области динамики, небесной механики и астрометрии. Бюро долгот занимается также различными работами по подготовке космических проектов (Фобос, ISO, SAX, HIPPARCOS). Создателя лаборатории Ж. Ковалевского на посту директора Бюро долгот в 1977 году сменил Б. Морандо, затем, в 1985 году, - Ж. Шапрон. С 1993 года директором Службы вычислений и небесной механики является Жан-Юд Арло. В ее штате - 21 научный сотрудник, 18 инженеров и техников. Лаборатория ассоциирована с Национальным центром научных исследований Франции и в его структуре называется Лабораторией эфемерид и небесной механики (отдел 707). С 1992 года Служба вычислений и небесной механики Бюро долгот включает в себя также особое молодежное подразделение - "Бригада 337, Астрономия и динамические системы", директором которой является А. Шенсине. Молодые ученые работают в институте по контрактам.

  • 150. В новое тысячелетие с новой теорией строения мира
    Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

    В новых представлениях наблюдаемая часть Мира предстанет в виде плотной, бесконечной и бесконечномерной упаковки бесконечно малых упругих частиц. Все так называемые “элементарные частицы” вещества предстанут как элементарные дефекты этой мировой упаковки вакансии и включения частиц упаковки или их простые комбинации в разных состояниях. Скопления вещества предстанут как скопления таких дефектов. Равенство количеств вакансий и включений хорошо совпадает с представлениями о наблюдаемой симметрии электрических зарядов. Очевидная асимметрия сжатия-растяжения мировых частиц (сжать частицу можно только на один размер до нуля, а растягивать можно до бесконечности) требует самопроизвольного сжатия вакансий и расширения включений до достижения более стабильных размеров. Наиболее стабильные состояния вакансий и включений отождествляются с протонами и электронами. Это позволяет получать описания свойств атомов, молекул, газов, жидких и твердых тел-конденсатов, совпадающие с наблюдаемыми. Разница размеров стабильных состояний вакансий-протонов и включений-электронов хорошо объясняет разницу их масс-подвижностей, удельную распространенность химических элементов и наблюдаемое неравноправие вещества и антивещества в природе. Все представления о разнообразных “полях” и волнах могут быть заменены единым представлением о простых деформациях сжатия-растяжения и сдвига-скручивания мировой упаковки, создаваемых в ее частях под действием других частей, включая дефекты упаковки. Все различаемые ранее “гравитационные”, “электромагнитные”, “слабые”, “сильные” и другие “взаимодействия” “элементарных частиц” оказываются просто разными описаниями одного и того же перемещения дефектов в одной и той же части упаковки, деформированной другими дефектами. А одно-единственное простое представление о перемещении дефектов в искривленной упаковке позволяет однообразно объяснить все наблюдаемые явления от гравитации и электромагнетизма до стабильности и распада атомных ядер и космических скоплений вещества. Новое представление о нейтроне, как метастабильном состоянии водородного атома, позволяет иначе взглянуть на проблему низкотемпературного ядерного синтеза и не только по-новому объяснить стабильность пылающих звезд и вспышки Сверхновых, но и быстро и надолго решить энергетическую проблему вместе с проблемой промышленного превращения (трансмутации) химических элементов. Перемещение дефектов методом последовательной переупаковки позволяет рассматривать их как разновидность волн, а вещество как устойчивые волновые пакеты и открытые системы с обновляющимися элементами-частицами упаковки. Такие волны не имеют постоянного состава частиц. Они только меняют, по мере своего перемещения, параметры частиц среды, восстанавливая их после прохождения. Поэтому на волны не распространяются многие ограничения частиц среды. Как рядовые следствия появляются представления о разнообразных параллельных вселенных и способах перемещения в них и между ними телепортации, телекинезе, телепатии, открывающих доступ к бесконечным ресурсам бесконечно сложной бесконечно большой бесконечномерной упаковки мировых частиц.

  • 151. Вакуумные приборы
    Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

    ЭОП это вакуумный фотоэлектронный прибор для преобразования невидимого глазом изображения объекта (в ИК, УФ и рентгеновских лучах) в видимое либо для усиления яркости видимого изображения. В основе действия ЭОП лежит преобразование оптического или рентгеновского изображения в электронное с помощью фотокатода, а затем электронного изображения в световое (видимое), получаемое на катодолюминесцентном экране. В ЭОП (рис. 7.1) изображение объекта А проецируется с помощью объектива О на фотокатод Ф (при использовании рентгеновских лучей теневое изображение объекта проецируется на фотокатод непосредственно). Излучение от объекта вызывает фотоэлектронную эмиссию с поверхности фотокатода, причём величина эмиссии с разных участков последнего изменяется в соответствии с распределением яркости спроецированного на него изображения. Фотоэлектроны ускоряются электрическим полем на участке между фотокатодом и экраном, фокусируются электронной линзой (ФЭ фокусирующий электрод) и бомбардируют экран Э., вызывая его люминесценцию. Интенсивность свечения отдельных точек экрана зависит от плотности потока фотоэлектронов, вследствие чего на экране возникает видимое изображение объекта. Различают ЭОП одно- и многокамерные (каскадные); последние представляют собой последовательное соединение двух или более однокамерных ЭОП.

  • 152. Вариации при исчислении
    Курсовой проект пополнение в коллекции 30.05.2010

    В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума , так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается лишь на решениях уравнения Эйлера, то в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства. При этом функционал превращается в функцию параметров и и пределов интегрирования , , а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Для упрощения будем считать, что одна из этих точек, например , закреплена, а другая может перемещаться и переходить в точку , или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, .

  • 153. Вариационные ряды
    Контрольная работа пополнение в коллекции 20.04.2010

    7880838484868888898991919292949496969697979999101102102104104105105107109110110115120767881838486868888898991929292949496969797999999101102104104105105107107110110112115757880838486868888899191919292949496969797999910110110210210410410510710910911211511773818484868889919192949696979910110110410510510710711011712367788181838484868688888889899191919292929494949696979797999999101101102102104104104105105107107109109110110113118121

  • 154. Введение в исследование и дифференциальное исчисление функции одного переменного
    Контрольная работа пополнение в коллекции 26.02.2012

    значит для нахождения глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значения на отрезке надо взять значения функции в концах отрезка. наименьшее наибольшее

  • 155. Введение в практику радиоэлектроники
    Доклад пополнение в коллекции 12.01.2009

    Начнем с оборудования, которое нам понадобится. Во-первых, вольтметр, амперметр и омметр, а, лучше всего, цифровой авометр (композиция этих трех приборов; его можно купить в любом магазине, где продается что-либо, связанное с электричеством, за 500 русских рублей). Без него вы даже не сможете определить, идет ли ток по вашей цепи или нет. Затем паяльник. ВНИМАНИЕ: мы будем работать с полупроводниками, а они боятся чрезмерно высоких температур. Лучше приобрести специальный низковольтный (12-36В) паяльник с адаптером, иначе вы можете сжечь еще не доделанный прибор. Также держите под рукой следующие инструменты: кусачки, плоскогубцы, пинцет, несколько отверток с разными размерами рабочей части, нож и надфиль. Если вы не хотите испортить полированный стол, вырежьте из оргалита, текстолита или фанеры лист размером примерно 600x400 см, чтобы класть его на стол во время работы.

  • 156. Введение в России Григорианского календаря
    Статья пополнение в коллекции 12.01.2009

    В 1899 году при Русском астрономическом обществе была создана комиссия из представителей многих научных учреждений, ведомств и министерств. Комиссией было предложено ввести в России не григорианский, а более точный календарь, основанный на рассмотренном выше проекте профессора И. Г. Медлера. Несмотря на исключительно активную роль в работе комиссии великого русского учёного Д. И. Менделеева (1834-1907 гг.), реформа не состоялась. Вновь, как полагают исследователи, сказалось мощное противодействие царских правительственных кругов и Святейшего Синода Русской Православной Церкви. В данном случае следует отметить следующее. Введение нового календаря само по себе не простое дело, даже если имеется в виду календарь, уже существующий и принятый в большинстве стран мира. Но что делать стране, если она захочет иметь свой собственный, отдельно взятый календарь? Куда она с ним потом денется? Как впишется в мировые анналы? Снова постоянно точать временные шкалы, постоянно иметь "в уме" поправку на стиль? А что такая реформа будет при всём этом стоить? И вызывает удивление, что Д. И. Менделеев содействовал проведению в жизнь хотя и более точного проекта, но отличного от принятого почти во всём мире григорианского календаря. В какой-то мере это можно объяснить недопониманием с его стороны самого п р и н ц и п а прежней календарной трансформации. По мнению учёного химика, "при введении григорианского стиля (в 1582 году) сделана была п о г р е ш н о с т ь в счёте начала (определившаяся как недостаточною точностью сведений об истинной длине года, так и поправкою лишь со времени Никейского Собора), а именно: в 1582 году ошибка юлианского (прежнего для Западной Европы) стиля от истинного счёта лет равнялась: - 0, 00781 х 1582 (( - 12, 355 суток, а папа Григорий XIII ввёл поправку всего на 10 дней, то есть умножил недоразумения разного рода, и вопросы календаря усложнились, а не упростились, если в счёте лет исходить от Рождества Христова". Как заметил И. А. Климишин, "Д. И. Менделеев не понял сущности реформы 1582 года, задачей которой было (повторим это ещё раз) возвратить весеннее равноденствие не к эпохе (началу) эры, а к моменту, когда складывались правила расчёта даты Пасхи", то есть к 325 году. Что же касается не решённых папой Григорием XIII проблем, то они не могли быть разрешены и проектом И. Г. Медлера. Ведь он сам начинал "плясать" от григорианской печки. До 2028 года его календарь вообще ничем не отличался бы от европейского, а затем по пилообразной "синусоиде" извивался бы около его осевой: в 2100 году оба хронографа опять совпали бы, в 2156 - вновь разошлись и т. д. Так извиваясь, он точнее отсчитывал бы время в п е р ё д, а не назад. Поэтому те 2, 355 суток, которые якобы "нашёл" Дмитрий Иванович, тут же потерял его подзащитный. Последний, заметим, тоже не совсем корректно трактовал некоторые аспекты проблемы. Он полагал, будто божественный Юлий командовал не только римскими когортами, но и круговоротом Солнца. Согласно профессорскому мнению, "по распоряжению Цезаря днём весеннего равноденст-вия должно было быть 21 марта". И далее утверждалось: "Когда в IV столетии нашего летосчисления этот (то есть юлианский) календарь был принят (?), то на Никейском Соборе было постановлено ... так как ве-сеннее равноденствие отодвинулось в то время на 18-е марта, то отбросить т р и дня ..." Комментарий И. А. Климишина: "Конечно, всё сказанное здесь - сплошные домыслы. Никейский Собор никуда весеннего равноденствия не смещал, поскольку оно к 18 марта и не передвигалось. Доказательством является то, что выдающийся древний астроном Птолемей (II век н. э.) в своём "Альмагесте" считал датой весеннего равноденствия 22 марта!" Речь в данном случае, безусловно, отнюдь не о теоретичеких преимуществах того или иного календаря, а о практической целесообразности, скажем так, абсолютной календарной реформы: чтобы не как у всех! Вот если бы И. Г. Медлер предложил свой проект самому Григорию XIII, тогда и можно было бы вволю и потеоретизировать. А тут, как говорят на Руси, из огня - да в полымя!

  • 157. Введение во фракталы
    Курсовой проект пополнение в коллекции 27.05.2006

    Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (рисунки приведены в [1], стр. 149).

  • 158. Век 17: от Кеплера до Ньютона
    Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

    Развивая этот успех, Ферма заинтересовался пифагоровыми тройками чисел - целыми решениями уравнения (х.. + у.. = z..). Существуют ли целые решения уравнений (х.. + у.. = z..) при n>2" Диофант не нашел ни одного решения для n=3; Ферма доказал, что таких решений не может быть. Оставалось обобщить метод Ферма для других простых показателей: 5, 7, 11... К сожалению, Ферма не стал проводить в этих случаях подробные расчеты - и поэтому не заметил удивительных алгебраических препятствий на своем пути. Например, при n=5 необходимо использовать комплексные числа: это первым заметил в конце 18 века Адриен Лежандр, а Ферма всю жизнь сомневался в полезности таких чисел! Далее, при n=23 доказательство "большой теоремы Ферма" натолкнулось на неоднозначное разложение комплексных чисел определенного вида на простые множители. Эту новую революцию в алгебре вызвал Эрнст Куммер в середине 19 века...

  • 159. Век с электроном
    Статья пополнение в коллекции 12.01.2009
  • 160. Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов
    Контрольная работа пополнение в коллекции 05.05.2012

    Очевидно, что векторы, стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарные. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы и направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т.е. . Но и следовательно, в этом случае векторы и равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее . Но . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора . Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно.