Методика изучения многогранников в школьном курсе стереометрии

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



атематики будет учитывать следующие моменты:

  • существующие подходы к определению понятия многогранник и правильный многогранник;
  • подходы к изучению темы в разных учебниках геометрии;
  • особенности изучения частных видов многогранников;
  • удачно подобранный задачный материал.

Объект исследования: процесс обучения геометрии в 10-11 классах средней школы.

Предмет исследования: методика изучения многогранников.

1. Подходы к определению многогранника и его видов.

1.1 подходы к определению многогранника.

Само определение понятия многогранника оказывается как раз таким вопросом, где необходимо особенно внимательно сочетать наглядные представления, рассмотрение реальных примеров и логической точности формулировок. Формулировки должны исходить из реальных примеров, из наглядных представлений и возвращаться к ним для проверки и дальше - для применения.

Выделяют два основных способа введения понятия многогранника в школьном курсе стереометрии:

  1. многогранник как поверхность (например, в учебниках [3] и [22] );
  2. многогранник как тело.

Чаще используется второй путь.

Дать строгое определение понятию многогранника в школе трудно, так как в определение входят такие понятия как поверхность, ограниченность, внутренние точки и др. Такая попытка была сделана в книге В.М. Клопского, З.А. Скопеца, М.И. Ягодовского Геометрия 9-10 [16], но было очень сложно, так как определение вводилось в несколько шагов, было много вспомогательных понятий.

Наиболее целесообразно дать описание на основе наглядных представлений школьника. Проще и короче всего определить многогранник как тело, поверхность которого состоит из многоугольников (в конечном числе). При этом тело и поверхность можно понимать в наглядном смысле, как понимают обычно. Тело в отвлечении его от материальности это часть пространства. Поэтому данное определение можно пересказать и так: многогранник это часть пространства, ограниченная конечным числом многоугольников.

Например, у Погорелова А.В.: Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников; У Атанасяна Л.С.: Многогранник это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

При этом в согласии с наглядным представлением подразумевается следующее:

(1)Имеется в виду конечная часть пространства; конечная в смысле конечности её размеров, или, как принято говорить в математике, ограниченная. (Это оговаривается, поскольку можно считать, что многоугольники, ограничивающие конечную часть пространства, ограничивают вместе с нею и остальную его часть бесконечную; во всяком случае, они тоже образуют его границу.)

(2)Многоугольники, ограничивающие многогранник, присоединяются к нему (содержаться в нем). Они образуют его поверхность; остальная же часть многогранника это его внутренность, так что многогранник состоит из поверхности и внутренности. (Это можно считать описательным определением поверхности и внутренности.) Поверхность всюду прилегает к внутренности и отделяет его от остального пространства внешнего по отношению к многограннику. Поэтому, например, куб с крылом, т.е. с приложенным к нему прямоугольником со стороной на ребре куба, не считается многогранником: крыло не прилегает к внутренности и никаким образом ее не ограничивает, не отделяет от остального пространства (рис 1.1).

(3)Многогранник, и даже одна его внутренность, состоит из одного куска, или, как принято говорить в математике, связна: не выходя из нее, можно непрерывно пройти от одной ее точки до любой другой. Или, что в данном случае равносильно, любые две точки внутренности можно соединить лежащей в ней ломаной.

Поэтому, например, два куба, приставленные один к другому по ребру, т. е. имеющие общее ребро и ничего больше, не образуют многогранника, а приставленные по куску грани образуют его, так же как объединение параллелепипеда с поставленным на него кубом и т. п. (рис.1.2)

Все сказанное содержится в наглядном представлении о многограннике и явно оговаривается для того, чтобы проанализировать это наглядное представление и тем самым выяснить, во-первых, те его элементы, которые должны фигурировать в формально строгом определении многогранника, а во-вторых, точнее различать в конкретных случаях, какая фигура должна быть признана многогранником, а какая нет.

2)Дадим строгое определение многогранника, предложенное А.Д. Александровым.

Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости.

Фигура это то же, что множество точек.

Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей.

Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.

Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек внутренностью.

Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами:

(1)Оно содержит внутренние точки, а внутренность его связна.

(2)Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности.

Данное определение относится либо к множеству точек на плоскости, либо в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости плоской зам